證明根號2是無理數：若根號2是有理數,則設它等于m/n(m、n為不為零的整回數,m、n互質)，(m/n)^2=根號2 ^2 =2， m^2/n^2=2，m^2=2n^2，即 m^2是偶數,設m=2k，m^2=4k^2=2n^2，n^2=2k^2，即n是偶數，所以根號2不是有理數,它是無理數。

無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數,即無限不循環小數. 如圓周率、2的方根等.

有理數是所有的分數,整數,它們都可以化成有限小數,或無限循環小數.如7/22等。

1、把有理數和無理數都寫成小數形式時,有理數能寫成有限小數和無限循環小數,比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數只能寫成無限不循環小數,比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不循環小數。

2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比;而無理數不能.根據這一點,有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子,把有理數改叫為“比數”,把無理數改叫為“非比數”。本來嘛,無理數并不是不講道理,只是人們最初對它不太了解罷了。

利用有理數和無理數的主要區別,可以證明√2是無理數.

證明：假設√2不是無理數,而是有理數.

既然√2是有理數,它必然可以寫成兩個整數之比的形式：√2=p/q

又由于p和q沒有公因數可以約去,所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。